[PMR]

Гномы договариваются, что разделяются на группы, к примеру по 10 человек.
Задний гном говорит Б - если перед ним нечетное кол-во шапок, Ч - если четное.
На основе этой инфы впеерди стоящий гном может определить свой цвет.

Вот пример расчета.
ЧЧБЧБББЧБЧ
Последний - слева.
Последний видит перед собой 4 черных шапки и говорит "черная".
Девятый видит 3 черных шапки, но сзадистоящий гном намекнул, что шапок четное количество. И значит на девятом черная.
Восьмой слышал, что черных шапок было четное количество. Девятый назвал тоже черную. И значит черных стало на одну меньше и количество стало нечетным. Перед собой он видит 3 черных. Значит на нем белая.